Le modèle d'Ising est un modèle de physique statistique utilisé pour l'étude de phénomènes collectifs produits par des interactions locales à deux états. Par ailleurs, il existe une interaction entre deux spins $\sigma_i$ et $\sigma_j$ décrite par l'énergie d'interaction On accède aux propriétés thermodynamiques en calculant, pour différentes températures, l'aimantation moyenne, l'énergie interne, la susceptibilité magnétique et la capacité thermique. En revanche, la capacité thermique et la susceptibilité thermique présentent des divergences à la température critique. Dans la limite thermodynamique, la longueur de corrélation qui mesure la taille typique de ces fluctuations, diverge au point critique. On présente ici une simulation du comportement d'un réseau carré de coté L contenant N = L2 cellules. C'est un modèle de réseau de spins magnétiques ne pouvant prendre que les valeurs 1 et −1. Dans le modèle d'Ising, $N$ atomes portant un spin $\sigma_i$ (et donc un moment magnétique) sont placés sur un réseau régulier. Partant de la température $T=3,5$, on collecte 100 échantillons pour effectuer les moyennes puis l'on abaisse progressivement la température de 0,05 en 0,05. \[E=-\frac{1}{2}\sum_{〈ij〉} J\,\sigma_i\,\sigma_j\] On simule le comportement d'un modèle d'Ising sur un réseau carré avec interaction entre plus proches voisins Sur un réseau carré, les plus proches voisins d'un atome sont au nombre de quatre.. Autrement dit Jij=JJij=J si les atomes ii et jj sont voisins, sinon Jij=0Jij=0. On choisit N fois un spin de manière aléatoire (certains spins sont omis et d'autres analysés plusieurs fois) et on calcule l'énergie E nécessaire pour provoquer son retournement en considérant ses quatre plus proches voisins. (2.1.2) C'est un modèle de réseau de spins magnétiques ne pouvant prendre que les valeurs 1 et −1. The 2-D Ising model Consider a two dimensional lattice where at each point of the lattice is located a (somewhat idealized) spin- particle. \[\sinh{\frac{2}{T_c}}=1 \quad\Longrightarrow\quad T_c\simeq 2,269\], Champs créés par deux charges électriques quelconques, Champs créés par trois charges électriques quelconques, Champ magnétique créé par des bobines de Helmholtz, Structure d'une onde électromagnétique plane monochromatique, Interférences à deux ondes - construction de Fresnel, Formation des images à l'aide de lentilles. ), ces matériaux perdent leur aimantation. Si E est négatif, on retourne le spin car cela contribue à diminuer l'énergie totale du réseau. Si T > Tc la magnétisation par cellule tend vers M / N = 0 et l'énergie par cellule tend vers E / N = − 0,5. Autrement dit, la température est exprimée en unité de $J/k_B$. La figure ci-dessous montre un tel comportement avec un maximum autour de $T=2,25$, La solution analytique au modèle d'Ising dans la limite thermodynamique a été fournie par Lars Onsager en 1944. \begin{array}{lr} Par contre on constate que M / N présente une discontinuité au voisinage de Tc. Attention, à l'approche du point critique, un phénomène de ralentissement critique se produit de sorte que le temps de décorrélation choisi devient insuffisant pour décorréler les échantillons ce qui nécessite d'attendre un certain temps avant que les moyennes se stabilisent. A terme, le système est en équilibre thermique avec un thermostat à la température T. Il y a des fluctuations de l'énergie par cellule et de la magnétisation par cellule mais il y a compensation de ces fluctuations. Ces deux dernières grandeurs s'obtiennent à partir du théorème de fluctuation-dissipation : \left\{ The Ising model is a very simple model to describe magnetism in solid state bodies. On itère le processus : Le programme est en fait un automate cellulaire. Ernst ISING (1900-1998) La case [Tous − 1] lance la simulation avec comme état initial tous les spins égaux à − 1. Il permet de décrire le magnétisme des matériaux ferromagnétiques ainsi que les alliages binaires. Sur un réseau carré, les plus proches voisins d'un atome sont au nombre de quatre. Cela correspond à un état paramagnétique ou à une structure cristalline avec une phase unique désordonnée. Si m < exp (−E / kT), on bascule le spin sinon on le laisse dans son état initial. où $\sigma(x,y)$ désigne le spin situé en $(x,y)$ sur un réseau d'arête $a$ et de longueur $L$.